מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר מצא לפחות פתרון אחד בצורה מפורשת יש להראות את דרך חישוב הפתרון u( ) u( ) u( ) פתרון שאלה :
u u שאלה : נתונה המשוואה: < < p q א) ב) ג) ד) קבע את סוג המשוואה הבא את המשוואה לצורתה הקנונית באמצעות הטרנספורמציה: מצא פתרון כללי f ( ) u( ) f ( ) תהי פונקציה גזירה פעמיים ברציפות מצא פתרון פרטי המקיים את התנאים: u ( ) f ( ) < < < < δ b ac > פתרון שאלה א ב המשוואה היא היפרבולית p q u w p( ) q( ) ( ) ( ) c a b p q p q w p q u ( p q) ( p q) wpq ( ) ( ) 4 q w p q q f p u w w p q נגדיר: בעזרת חוק השרשרת: u w w w pp pq qq u w w p q u w w w pp pq qq 4w pq q ג לאחר אינטגרציה לפי ולאחר חלוקה: p ( ) ( ) :q
w( p q) q p F( p) G( q) u( ) ( ) ( ) F( ) G( ) F G C ( R) לאחר אינטגרציה לפי p: (על מנת לקבל פתרון אמיתי) כאשר FG פונקציות שרירותיות ו- ד נציב בנוסחת הפתרון הכללי ונשתמש בתנאי הראשון () u( ) F( ) G( ) f ( ) < < ונשתמש בתנאי השני () u ( ) F '( ) G '( ) f '( ) 4 נגזור את נוסחת הפתרון הכללי לפי ונציב < < 4 F G f C () ( ) ( ) ( ) < < ( ) ( ) F f C 6 G C לאחר אינטגרציה של () לפי : כאשר () () () - () C R קבוע שרירותי ( ) C F( ) f ( ) 4 C G( ) ולאחר הצבה בנוסחא הכללית של הפתרון יתקבל: u( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) 4 u( ) f ( ) 6 או לאחר פישוט: u u u < < > u ( ) u ( ) u( ) cos( ) u ( ) cos( ) שאלה : נתונה הבעיה: א) מצא פתרון לבעיה ב) האם הפתרון שקבלת הוא אמיתי?
u( ) T( ) X ( ) פתרון שאלה : א נחפש פתרונות בצורה של הפרדת משתנים: X '() X '( ) X ( ) cos λ '' ( ) T T T ( ) A e B e T ( ) A B T A B ( ) cos( ) si( ) T '' X '' λ T X X '' λx < < X '() X '( ) T '' ( λ) T הפתרון המתקבל לפני הצבת תנאי התחלה: ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos( ) si( ) cos( ) u A e B e A B A B u( ) ( A B ) A cos A cos( ) cos ( ) ( ) cos cos( ) cos u A B B B > < < A A 4 A B A B B B A A A B 4 B B B B u( ) e cos si cos פעמיים ברציפות לפי ו- עבור < < עבור הפתרון המתקבל הוא: ב הפתרון המתקבל הינו גזירה הינו גזיר פעם ברציפות לפי ו- והוא מקיים את המד"ח תנאי השפה ותנאי ההתחלה הוא מהווה פתרון אמיתי u u e e < < > u( ) u( ) cos( ) si( ) si( ) u( ) si( ) שאלה 4: נתונה הבעיה: א) מצא פתרון לבעיה
lim u(/ ) חישב את ב) u( ) a( ) L פתרון שאלה 4: כאשר אזי: w( ) a( ) ( b ( ) a ( ) נעבור לתנאי שפה הומוגנית: ) L w( ) לכן u( ) b( ) v( ) u( ) נסמן ) v( ) u( ) w( v v u u e e < < > v( ) v( ) (cos ) si si v( ) u( ) w( ) ( si ) si v v < < > v( ) v( ) T ' X '' λ T X X '' λx X () X () נפתור הבעיה בעזרת שיטת הפרדת משתנים XT ' X '' T v( ) T ( ) X ( ) T ( )si שלב : נתבונן בבעיה ההומוגנית λ X V ( ) T( ) X ( ) si( ) שלב : מחפשים פתרון כללי בצורה: אזי: ( T ' T ) ( T ' T ) λ ( ) si (cos ) si si v v X e e () T ' T (cos ) e () T ' 9 T e () T ' T e T cosd si A T A e si e נשווה את מקדמי si באגף שמאל וימין נקבל: נפתור משוואה (): ( e T ) ' cos T ' T (cos ) e נפתור משוואה (): 9 7 ( e T ) ' e T ' 9 T e ע "ע פ "ע
9 7 7 e T e d e A 7 9 T e A e 7 ( e T ) ' <> T ' T v( ) T ( )si נפתור משוואה (): T A e קיבלנו פתרון כללי מהצורה: si (si ) si si Ae e e 7 ( ) : v( ) si { A נקבע } לכן בהתאם לתנאי התחלה: נציב v( ) A si 7 si si A si ( ) si 7 A ( ) 7 A 4 9 ( ) ( ) si (si ) v e e si e si 7 7 u( ) v( ) w( ) v( ) 9 ( ) (si ) si (( ) u e e e ) si 7 7 (( ) ) u( ) (si ) e si e 9 e si 7 7 lim u( ) ב נתונה בעיית דיריכלה הבאה: u < 4 u( ) 4 ma ( ) שאלה 5: א) מצא פתרון לבעיה u 4 ב) מצא את ג) האם הפתרון שמצאת בסעיף א' הוא יחיד? נמק היטב את תשובתך
פתרון שאלה 5: א נעבור לקורדינטות קוטביות: w( r ) u( r cos r si ) r < w( ) si si אזי פתרון לבעיית דיריכלה בקורדינטות פולריות בעיגול נתון בצורה: a r ( ) w( r ) a cos b si cos si <> u( ) a b { } נקבע תנאי שפה: 4 g( )si a w a b ( ) ( cos si ) si g ( ) si a b { } לכן כלומר הם מקדמי פורייה של הפונקציה a g( )cos d g( )cos d b g( )si d g( )si d si פונקציה אי זוגית היא פונקציה זוגית ו- היא פונקציה אי g b g( )si d ( ) si זוגית אי זוגית ( ) g( )cos : כי ( ) נחשב a היא פונקציה זוגית si cos 4 si cos 4 si( ) si( ) a d d ( ) d si( ) si( ) cos( ) cos( ) ( ) d ( cos( ) ) [ cos( ) ] cos(m ) cos( m) - אי זוגי a 5 קל לבדוק כי גם cos(m ) cos cos(m ) cos( ) אי זוגי m a m כאשר כאשר
a 4 m m m m (4m ) a לכן כמו כן קל לבדוק כי m r m m (4m ) 4 cos w( r ) ב לפי עקרון המקסימום (החלש) ma u( ) ma u( ) ma 4 4 4 ma u( ) ma si 4 לכן לכן u u u הוא מקיים לבעיית דיריכלה u אזי 4 4 u ו- ma u( ) ma u( ) ג נניח שלבעיה יש שני פתרונות 4 4 u 4 u( ) 4 לפי עקרון המקסימום (החלש) mi u( ) mi u( ) mi u( ) ma u( ) 4 4 4 4 u( ) u u וגם קיבלנו לכל בעיגול ז"א שהפתרון לבעיה הוא יחיד אפשר גם לצטט משפט קיום ויחידותת לפיו לבעיית דיריכלה בעיגול מובטח פתרון יחיד במידה והנתונים על השפה רציפים